Solution of an unsolved problems.

[Md.Shahjalal Talukder]

অমিমাংসিত গণিতের গল্প
লেখকঃ তাহমিদ শাহ্‌রিয়ার প্রান্তর

ভাবছেন গণিত আবার অমিমাংসিত হয় কিভাবে? আজ হোক বা কাল হোক, যেকোনো গাণিতিক সমস্যার কোনো না কোনো একটা সমাধান তো এসেই যায়। কিন্তু আপনাকে একটা গল্প শোনাবো, একটা সমস্যার কথা শোনাবো, যেটি কিনা প্রায় ৭৭ বছর ধরে অমিমাংসিত। চলুন শুরু করা যাক।

স্বাভাবিক সংখ্যার সাথে তো আমরা সবাই পরিচিত। ওই যে ১,২,৩......আমরা যেগুলো গণনার কাজে ব্যবহার করে থাকি আর কি! তাহলে একটু কষ্ট করুন। একটা স্বাভাবিক সংখ্যা নিন আপনার ইচ্ছা মত। সেটি জোড় হলে দুই দিয়ে ভাগ করে ফেলুন। আর আপনার নেওয়া সংখ্যাটা যদি বিজোড় হয় তাহলে সেটিকে তিন গুণ করুন, তারপর ১ যোগ করুন। এবার তো জোড় হল। এবার আবার আগের মত প্রক্রিয়া চালান এটার উপর। তারপর আবার। তারপর আবার। এভাবে চালাতে থাকুন। দেখুন একসময় আপনি ১ -এ পৌছে যাবেন।

একটা উদাহরণ দিয়ে দেখানো যাক। ধরুন আমরা ৭ নিয়ে শুরু করলাম। লাকি ৭ আর কি! নিয়ম মোতাবেক এটি যেহেতু বিজোড় তাহলে একে তিন গুণ করে ১ যোগ করে নিতে হবে, তাহলে এটি দাঁড়ায় ২২। ২২ জোড় তাই দুই দিয়ে ভাগ করলে হয় ১১। ১১ বিজোড়, তাই তিন গুণ করে ১ যোগ, হবে ৩৪। তারপর ১৭। তারপর ৫২। তারপর ২৬। তারপর ১৩। তারপর ৪০। তারপর ২০। এবারে পাব ১০। এবারে ৫। এবারে ১৬। দুই ভাগ করে ৮। আবার দুই ভাগ করে ৪, আবার করে ২ এবং শেষে ১।

মানে ধারাটা অনেকটা এমন দাঁড়াল। ৭, ২২, ১১, ৩৪, ১৭, ৫২, ২৬, ১৩, ৪০, ২০, ১০, ৫, ১৬, ৮, ৪, ২, ১। এই প্রক্রিয়াটিকে বলা হয় "HOPTO" অর্থাৎ Half or Triple Plus One. আর এই প্রক্রিয়া চালিয়ে যে ধারাটা পাওয়া যায় তাকে বলা হয় "কোলাজের ধারা" বা "Collatz Sequence"-এই অংশটুকু মনে রাখুন। আর চেষ্টা করে দেখুন, যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার জন্য আপনি এক সময় ১ এ পৌঁছাবেনই। এবার চলুন আমরা এক জার্মান ভদ্রলোকের কথা জেনে আসি।

লোথার কোলাজ(Lother Collatz), ৬ জুলাই ১৯১০ সালে জার্মানির ওয়েস্টফালিয়ার Arnsberg এ যার জন্ম। খুব বর্ণাঢ্য শৈশব আর কৈশোর না কাটলেও তৎকালীন অন্যান্য জার্মানদের মতোই তিনি কয়েকটি বিশ্ববিদ্যালয়ে পড়েছেন। শেষমেষ University of Greifwald থেকে ডক্টরেট লাভ করেন। আচ্ছা লম্বা একটা শ্বাস নিন। একটু পরেই বুঝবেন কেন বললাম লম্বা শ্বাস নিতে। ১৯৩৫ সালে মাত্র ২৫ বছর বয়সে তাঁকে তাঁর The finite difference method with higher approximation for linear differential equations এর জন্য ডক্টরেট ডিগ্রী প্রদান করা হয়। লম্বা শ্বাসের শানে নূযুল বুঝেছেন নিশ্চয় এইবার।

মজার ব্যাপার হল, তিনি তাঁর এই গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্বের জন্য যতটা না পরিচিত তার চেয়েও বেশি পরিচিতি লাভ করেছেন তার বিখ্যাত "collatz conjecture" এর জন্য। আপনি ইতোঃমধ্যে ব্যাপারটার সাথে অনেকাংশেই পরিচিত হয়েছেন। ওই যে, প্রথমেই বললাম, যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা নিয়েই শুরু করেন না কেন এক সময় আপনি ঠিকই ১ এ গিয়ে ঠেকবেন। কিন্তু আসলেই কি তাই? এটাই গণিতের বিখ্যাত কিছু অমিমাংসিত সমস্যাগুলোর মধ্যে একটি। বক্তব্যটা ছিলো এইরকম-" Does the Collatz sequence from initial value n eventually reach 1, for all n greater than 0?"

আপনাকে যে প্রক্রিয়াটা চালাতে বলেছিলাম ওইটা লোথার কোলাজ সর্বপ্রথম ১৯৩৭ সালে প্রস্তাব করেন এবং বলেন, যে কোন স্বাভাবিক সংখ্যার জন্যই এটি সত্য। কিন্তু তাত্ত্বিক গণিতে এটি এখনও প্রমাণিত হয় নি যে, সকল স্বাভাবিক সংখ্যার ক্ষেত্রেই এটি সত্য হবে। তারপরেও ব্যবহারিকভাবে কম্পিউটার প্রোগ্রাম দিয়ে 5*(2^60) = 5.764×10^18 পর্যন্ত পরীক্ষা করে দেখা গেছে যে এটি সত্য। তাতে কি? তাত্ত্বিক যুক্তির বিচারে (আরোহ বা অবরোহ ইত্যাদি) প্রমাণিত না হলে গণিত সেটাকে "প্রমাণিত সত্য"-স্বীকৃতি দেয় না। মনে মনে বলছেন এটা আবার কেমন কথা? a.0=0 কিংবা a.1=a আবার -(-n)=n ইত্যাদি তো ছোট থেকেই জেনে আসছি। এগুলোর আবার প্রমাণ কি? যদি সত্যিই এইরকম ভেবে থাকেন তাহলে বলি, বিশ্বাস করুন, এগুলোরও প্রমাণ আছে। প্রমাণ ছাড়া গণিত কখনই কোনো কথা বলে না।

কোনো একটি সংখ্যা নিয়ে শুরু করলে সেটি যতগুলো ধাপ পার করে ১ এ পৌঁছায় তাকে ওই সংখ্যার "stopping Time" বা সমাপ্তি সময় বলে। যেমন, ৬ এর stopping Time হলো ৯। ১১ এর stopping time হলো ১৫।  ১০০ মিলিওনের চেয়ে ছোট সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৬৩৭২৮১২৭ এর stopping time হল ৯৪৯। যা ১০০ মিলিয়নের চেয়ে ছোট সংখ্যার মধ্যে সর্বোচ্চ। আবার ১ বিলিয়নের মধ্যবর্তী সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৬৭০৬১৬২৭৯ এর Stopping Time ৯৮৬। একইভাবে ১০ বিলিয়নের মধ্যে সর্বোচ্চ stopping time হল ৯৭৮০৬৫৭৬৩১ এর। এটি দিয়ে শুরু করে ১ এ পৌঁছাতে আপনাকে বেশি না,মাত্র ১১৩২ টি ধাপ হিসাব করতে হবে।

শেষ করার আগে বলে রাখি, পল আরডস এটি নিয়ে বলেছিলেন, "গণিত সম্ভবত এই রকম সমস্যার জন্য প্রস্তুত নয়" পাশাপাশি সেসময় এটার সমাধানের জন্য তিনি ৫০০ ডলার পুরস্কারও ঘোষণা করেছিলেন। ১৯৭২ সালে জে.এইচ. কনঅয়ে প্রমাণ করেন যে collatz conjecture এর স্বাভাবিক সরলীকরণ পর্যায় পরম্পরাভাবে (algorithmically) অমিমাংসিত।