Show Posts

This section allows you to view all posts made by this member. Note that you can only see posts made in areas you currently have access to.


Messages - Md.Shahjalal Talukder

Pages: 1 ... 3 4 [5] 6 7
62
English / Re: Love poems
« on: March 30, 2017, 12:21:10 AM »
Nice poem....

63
English / Re: Rampal, I love you by Sadaat Mahmood
« on: March 30, 2017, 12:19:26 AM »
Thanks

64
English / Re: 21 best novels
« on: March 30, 2017, 12:19:00 AM »
Thanks for sharing...

65
Basic Maths / why and how 0! =1
« on: March 30, 2017, 12:17:24 AM »
0! = 1 কেন, কিভাবে ?

যদি n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয় তবে n এর factorial কে n! দ্বারা প্রকাশ করা হয় যেখানে,

n! = n x(n-1)x(n-2)x.... x3x2x1

যেমনঃ

3! = 3 x 2 x 1 = 6
4! = 4 x 3 x 2 x 1 =24
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
একই ভাবে, 1! = 1

কিন্তু 0 এর factorial কত??
উত্তরঃ 0! = 1

এই ব্যপারটি হজম করা বোধ হয় কিছুটা কষ্টকর।কেননা ইতোমধ্যে আমরা জেনেছি
যে 1! = 1; এখন আবার বলছি, 0! = 1
অর্থাৎ,

0! = 1!

তাহলে উভয় পাশ হতে " ! " চিহ্ন কেটে দিয়ে পাই,
0 = 1 (গণিতপ্রেমিরা নিশ্চয় আমার কথা শোনে চটে যাবেন।)

আসলে " ! " চিহ্নটি " + " কিংবা " x " অপারেটরের মতো নয়। গণিতে এটি আসলে একটি লজিক কে নির্দেশ করে। আসছি সেসবে তার আগে চলুন দেখে নেওয়া যাক কিভাবে
0! = 1 হয়।

factorial এর সংজ্ঞানুযায়ী আমরা লিখতে পারি,

n! = n x (n-1) x.....x 3 x 2 x 1
বা, n! = n x (n-1)!
.'. (n-1)! = n!/n.........(১)

(১) এ n=1 বসিয়ে পাই,
(1-1)! = 1!/1
বা, 0! = 1/1
সুতরাং, 0! = 1

আসলে এটি অনেক ভাবে দেখানো যায়।যেমনঃ

গামা ফাংশনের সংজ্ঞা থেকে জানি,

Gama(s) = (s-1)!
s=1 বসিয়ে পাই,
Gama(1) = (1-1)!
বা, 0! = Gama(1)
কিন্তু Gama(1) = 1
সুতরাং, 0! = 1

উপরের প্রমাণ দুটি দেখে অনেকে এই বলে অভিযোগ করতে পারে যে এটি আসলে চাপিয়ে দেয়া এক নিয়ম যেখানে কোন লজিক নেই বরং গণিতের বিশেষ কিছু ফর্মুলা কে টিকিয়ে রাখতে 0! = 1 লিখা হয়।

অভিযোগটি যে মুটেও সত্যি না পারমুটেশনের ধারণা থেকে সেটি ব্যাখ্যা করা যায়।

আমরা জানি একটি সেটের প্রতিটি উপাদান অনন্য।সেটের এই উপাদানগুলো কে যদি ভিন্ন ভিন্ন বিন্যাসে সজ্জিত করি তাহলে ঠিক কত উপায়ে সেটি করা যাবে?? আসলে এর উত্তরটি নির্ভর করবে সেটের উপাদান সংখ্যার উপর।মনে করি একটি সেটের উপাদান গুলো হল a, b, c। উপাদানগুলোকে বিভিন্ন বিন্যাসে সাজালে পাওয়া যায়,
(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a) ইত্যাদি। এছাড়া আর কোন বিন্যাস সম্ভব নয়।এখানে দেখা যায় একটি সেটের তিনটি উপাদানের জন্য ছয়টি বিন্যাস পাওয়া যায়। একই ভাবে,
চারটি উপাদানের জন্য ২৪টি
পাঁচটি উপাদানের জন্য ১২০টি
ছয়টি উপাদানের জন্য ৭২০টি
ইত্যাদি।

অর্থাৎ একটি সেটের উপাদান n টি হলে এর উপাদানগুলোর বিন্যাস সংখ্যা হবে n।(মূলত বিন্যাসের এই ধারণা থেকেই factorial এর প্রচলন।)

আমরা জানি কোন সেটের উপাদান সংখ্যা ভগ্নাংশ কিংবা ঋনাত্মক হতে পারে না। কিন্তু শূন্য হতে পারে। আর তাই n কেবল natural number এর জন্য সংজ্ঞায়িত নয় বরং 0 এর জন্যও সংজ্ঞায়িত।

এবার দেখা যাক কেন 0! = 1

ইতোপূর্বে দেখানো হয়েছে যে কোন সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে এর বিন্যাস সংখ্যা হবে n! যদি একটি সেটের উপাদান 10 হয় তবে এর উপাদানগুলো কে 10! ভাবে সাজানো যাবে।যদি কোন সেটে একটি মাত্র উপাদান থাকে তবে এটির কেবল একটি বিন্যাস পাওয়া যাবে। কথা হল যদি কোন উপাদান না থাকে তবে এর বিন্যাস সংখ্যা কত?? লাখ টাকার প্রশ্ন!

যদি কোন সেটের উপাদান না থাকে সেটিকে আমরা ফাঁকা সেট বলি।লক্ষ করুন এটি অবশ্যই একটি সেট।উপাদান না থাকলেও এর অস্থিত্ব আছে। আর তাই এরও বিন্যাস থাকতে হবে।অর্থাৎ এর বিন্যাস সংখ্যা শূন্য নয়।তাহলে সেটি কত?? বলার অপেক্ষা রাখেনা যে সেটি অনন্য।
আর তাই 0! = 1. (Collected from : গণিত এবং আরো গণিত)

66
Basic Maths / Mathematical equation for happiness
« on: March 26, 2017, 11:18:26 PM »
সুখের খোঁজে সমীকরণ:  আব্দুল্লাহ জায়েদ

সম্প্রতি পিএনএএস জার্নালে নিজেদের গবেষণা প্রতিবেদন প্রকাশ করেছেন এই ‘সুখ সমীকরণের’ বিজ্ঞানীরা। কেউ নিজের মেজাজ সামলাতে পারেন না, আবার কেউ অল্পতেই সুখী হন। একজন মানুষের চিন্তাধারায় যে বিষয়গুলো প্রভাব ফেলে, সেগুলো সমীকরণের অন্তর্ভূক্ত করা হয়েছে।কে কখন রেগে যাবেন, আর কে কখন খুশি হবেন এই বিষয়গুলো নাকি আগে থেকেই বলে দিতে পারবে সমীকরণটি। এ বিষয়ে গবেষণা প্রতিবেদনের প্রধান গবেষক ড. রব রাটলেজ বলেন, “অতীতের সিদ্ধান্তগুলো সমীকরণের অন্তর্ভূক্ত করে কে কখন খুশি হবেন সে ব্যাপারে আমরা ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারছি একদম সঠিকভাবে।” সমীকরণটি তৈরিতে ২৬ ব্যক্তির উপর গবেষণা চালিয়েছেন বিজ্ঞানীরা। গবেষণার জন্য পুরস্কারের আশায় আংশিক হলেও বিপজ্জনক কাজে অংশ নিয়েছে ওই ২৬ ব্যক্তি। আর প্রতিবার কাজের শেষে তারা কতটা খুশি সে ব্যাপারেও ডেটা সংগ্রহ করেছেন বিজ্ঞানীরা। এরপর ওই সমীকরণটি ১৮০ ব্যক্তির উপর প্রয়োগ করে এর কার্যক্ষমতা সম্পর্কে নিশ্চিত হন বিজ্ঞানীরা।

67
Basic Maths / connection between money and happiness
« on: March 26, 2017, 11:16:23 PM »
Connection Between Money and Happiness
.................................................................................
In a new study, mathematical economist Prof. Dr. Christian Bayer, from the Hausdorff Center for Mathematics at the University of Bonn, has demonstrated a connection between long-term income increases and personal satisfaction. Overtime also affects personal levels of happiness -- but in a negative way. His findings will be presented in the latest issue of the American Economic Journal.

Does money bring happiness?
A study by Professor Christian Bayer from the University of Bonn provides new answers to this often-discussed question. In the project, Prof. Bayer worked with his colleague Prof. Falko Jüssen from Bergische Universitaet Wuppertal to research how increased income and workload influenced overall life satisfaction. Their findings were clear: more money does make people happier -- but only if there is a long-term increase in income. A temporary increase does not have any noticeable effect on an employee's level of happiness, even if it is a large increase. By contrast, a permanent increase in income results in a significant rise in well-being, even if the raise is small.

Those who consistently have more work are less happy

The researchers identified a second important way in which professional life influences personal happiness: the number of hours that employees work. "Those who consistently have to work more become less happy," says Prof. Bayer, an instructor and researcher at the Institute for Macroeconomics and Econometrics at the University of Bonn. "This finding contradicts many other studies that conclude people are more satisfied when they have any job than none at all." The new study suggests that the unemployed suffer from the lack of income not the lack of employment per se.

For their studies, the mathematical economists developed a new approach to analyze the link of income to personal levels of happiness. While earlier studies on this topic were based purely on static models, Prof. Bayer and Prof. Jüssen also included the dynamics of changing income levels. As it turned out, that was a key step toward a better understanding of how income level and working hours affect well-being. Long-term income increases have a completely different effect on an employee's satisfaction than temporary raise does. Previous studies had not taken this distinction into account, and treated all changes in income equally.

The formula of happiness

The study also proves that a functioning financial market is important for balancing out the effects of income fluctuations and extra work on a person's well-being. "Our findings show that wages and working hours have more to do with a worker's happiness and/or unhappiness than was previously assumed," says Prof. Bayer. "So the formula for greater satisfaction in life seems to be: persistently more money while working the same number of hours."

Journal Reference:
Christian Bayer, Falko Juessen. Happiness and the Persistence of Income Shocks†. American Economic Journal: Macroeconomics, 2015; 7 (4): 160 DOI: 10.1257/mac.20120163

68
Problems and Solutions / Solution of an unsolved problems.
« on: March 26, 2017, 11:12:34 PM »
অমিমাংসিত গণিতের গল্প
লেখকঃ তাহমিদ শাহ্‌রিয়ার প্রান্তর

ভাবছেন গণিত আবার অমিমাংসিত হয় কিভাবে? আজ হোক বা কাল হোক, যেকোনো গাণিতিক সমস্যার কোনো না কোনো একটা সমাধান তো এসেই যায়। কিন্তু আপনাকে একটা গল্প শোনাবো, একটা সমস্যার কথা শোনাবো, যেটি কিনা প্রায় ৭৭ বছর ধরে অমিমাংসিত। চলুন শুরু করা যাক।

 স্বাভাবিক সংখ্যার সাথে তো আমরা সবাই পরিচিত। ওই যে ১,২,৩......আমরা যেগুলো গণনার কাজে ব্যবহার করে থাকি আর কি! তাহলে একটু কষ্ট করুন। একটা স্বাভাবিক সংখ্যা নিন আপনার ইচ্ছা মত। সেটি জোড় হলে দুই দিয়ে ভাগ করে ফেলুন। আর আপনার নেওয়া সংখ্যাটা যদি বিজোড় হয় তাহলে সেটিকে তিন গুণ করুন, তারপর ১ যোগ করুন। এবার তো জোড় হল। এবার আবার আগের মত প্রক্রিয়া চালান এটার উপর। তারপর আবার। তারপর আবার। এভাবে চালাতে থাকুন। দেখুন একসময় আপনি ১ -এ পৌছে যাবেন।

 একটা উদাহরণ দিয়ে দেখানো যাক। ধরুন আমরা ৭ নিয়ে শুরু করলাম। লাকি ৭ আর কি! নিয়ম মোতাবেক এটি যেহেতু বিজোড় তাহলে একে তিন গুণ করে ১ যোগ করে নিতে হবে, তাহলে এটি দাঁড়ায় ২২। ২২ জোড় তাই দুই দিয়ে ভাগ করলে হয় ১১। ১১ বিজোড়, তাই তিন গুণ করে ১ যোগ, হবে ৩৪। তারপর ১৭। তারপর ৫২। তারপর ২৬। তারপর ১৩। তারপর ৪০। তারপর ২০। এবারে পাব ১০। এবারে ৫। এবারে ১৬। দুই ভাগ করে ৮। আবার দুই ভাগ করে ৪, আবার করে ২ এবং শেষে ১।

 মানে ধারাটা অনেকটা এমন দাঁড়াল। ৭, ২২, ১১, ৩৪, ১৭, ৫২, ২৬, ১৩, ৪০, ২০, ১০, ৫, ১৬, ৮, ৪, ২, ১। এই প্রক্রিয়াটিকে বলা হয় “HOPTO” অর্থাৎ Half or Triple Plus One. আর এই প্রক্রিয়া চালিয়ে যে ধারাটা পাওয়া যায় তাকে বলা হয় “কোলাজের ধারা” বা “Collatz Sequence”-এই অংশটুকু মনে রাখুন। আর চেষ্টা করে দেখুন, যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার জন্য আপনি এক সময় ১ এ পৌঁছাবেনই। এবার চলুন আমরা এক জার্মান ভদ্রলোকের কথা জেনে আসি।

 লোথার কোলাজ(Lother Collatz), ৬ জুলাই ১৯১০ সালে জার্মানির ওয়েস্টফালিয়ার Arnsberg এ যার জন্ম। খুব বর্ণাঢ্য শৈশব আর কৈশোর না কাটলেও তৎকালীন অন্যান্য জার্মানদের মতোই তিনি কয়েকটি বিশ্ববিদ্যালয়ে পড়েছেন। শেষমেষ University of Greifwald থেকে ডক্টরেট লাভ করেন। আচ্ছা লম্বা একটা শ্বাস নিন। একটু পরেই বুঝবেন কেন বললাম লম্বা শ্বাস নিতে। ১৯৩৫ সালে মাত্র ২৫ বছর বয়সে তাঁকে তাঁর The finite difference method with higher approximation for linear differential equations এর জন্য ডক্টরেট ডিগ্রী প্রদান করা হয়। লম্বা শ্বাসের শানে নূযুল বুঝেছেন নিশ্চয় এইবার।

 মজার ব্যাপার হল, তিনি তাঁর এই গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্বের জন্য যতটা না পরিচিত তার চেয়েও বেশি পরিচিতি লাভ করেছেন তার বিখ্যাত “collatz conjecture” এর জন্য। আপনি ইতোঃমধ্যে ব্যাপারটার সাথে অনেকাংশেই পরিচিত হয়েছেন। ওই যে, প্রথমেই বললাম, যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা নিয়েই শুরু করেন না কেন এক সময় আপনি ঠিকই ১ এ গিয়ে ঠেকবেন। কিন্তু আসলেই কি তাই? এটাই গণিতের বিখ্যাত কিছু অমিমাংসিত সমস্যাগুলোর মধ্যে একটি। বক্তব্যটা ছিলো এইরকম-“ Does the Collatz sequence from initial value n eventually reach 1, for all n greater than 0?”

আপনাকে যে প্রক্রিয়াটা চালাতে বলেছিলাম ওইটা লোথার কোলাজ সর্বপ্রথম ১৯৩৭ সালে প্রস্তাব করেন এবং বলেন, যে কোন স্বাভাবিক সংখ্যার জন্যই এটি সত্য। কিন্তু তাত্ত্বিক গণিতে এটি এখনও প্রমাণিত হয় নি যে, সকল স্বাভাবিক সংখ্যার ক্ষেত্রেই এটি সত্য হবে। তারপরেও ব্যবহারিকভাবে কম্পিউটার প্রোগ্রাম দিয়ে 5*(2^60) = 5.764×10^18 পর্যন্ত পরীক্ষা করে দেখা গেছে যে এটি সত্য। তাতে কি? তাত্ত্বিক যুক্তির বিচারে (আরোহ বা অবরোহ ইত্যাদি) প্রমাণিত না হলে গণিত সেটাকে “প্রমাণিত সত্য”-স্বীকৃতি দেয় না। মনে মনে বলছেন এটা আবার কেমন কথা? a.0=0 কিংবা a.1=a আবার -(-n)=n ইত্যাদি তো ছোট থেকেই জেনে আসছি। এগুলোর আবার প্রমাণ কি? যদি সত্যিই এইরকম ভেবে থাকেন তাহলে বলি, বিশ্বাস করুন, এগুলোরও প্রমাণ আছে। প্রমাণ ছাড়া গণিত কখনই কোনো কথা বলে না।

কোনো একটি সংখ্যা নিয়ে শুরু করলে সেটি যতগুলো ধাপ পার করে ১ এ পৌঁছায় তাকে ওই সংখ্যার “stopping Time” বা সমাপ্তি সময় বলে। যেমন, ৬ এর stopping Time হলো ৯। ১১ এর stopping time হলো ১৫।  ১০০ মিলিওনের চেয়ে ছোট সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৬৩৭২৮১২৭ এর stopping time হল ৯৪৯। যা ১০০ মিলিয়নের চেয়ে ছোট সংখ্যার মধ্যে সর্বোচ্চ। আবার ১ বিলিয়নের মধ্যবর্তী সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৬৭০৬১৬২৭৯ এর Stopping Time ৯৮৬। একইভাবে ১০ বিলিয়নের মধ্যে সর্বোচ্চ stopping time হল ৯৭৮০৬৫৭৬৩১ এর। এটি দিয়ে শুরু করে ১ এ পৌঁছাতে আপনাকে বেশি না,মাত্র ১১৩২ টি ধাপ হিসাব করতে হবে।

শেষ করার আগে বলে রাখি, পল আরডস এটি নিয়ে বলেছিলেন, “গণিত সম্ভবত এই রকম সমস্যার জন্য প্রস্তুত নয়” পাশাপাশি সেসময় এটার সমাধানের জন্য তিনি ৫০০ ডলার পুরস্কারও ঘোষণা করেছিলেন। ১৯৭২ সালে জে.এইচ. কনঅয়ে প্রমাণ করেন যে collatz conjecture এর স্বাভাবিক সরলীকরণ পর্যায় পরম্পরাভাবে (algorithmically) অমিমাংসিত।

69
Islam & Science / Re: The importance of family life in Islam
« on: March 14, 2017, 12:51:41 PM »
thanks a lot

70
Teaching & Research Forum / Re: Take care of your knees
« on: March 14, 2017, 12:25:49 PM »
thanks.........

71
Teaching & Research Forum / Re: hardest math problem-1
« on: March 14, 2017, 12:25:21 PM »
thanks for sharing......

74
Teaching & Research Forum / Re: value of pie.
« on: March 14, 2017, 12:22:08 PM »
really nice..........

Pages: 1 ... 3 4 [5] 6 7